1. セル E2,に「=C2*D2」と入力します。
2. セル E2からE16までドラッグし、下方向へコピーします。
   

1. 入力Y範囲：B1からB16
2. 入力X範囲：D1からD16
3. 「ラベル」にチェック

1. 入力Y範囲：B1からB16
2. 入力X範囲：D1からE16
3. 「ラベル」にチェック

1. 入力Y範囲：A1からA16
2. 入力X範囲：B1からG16
3. 「ラベル」にチェック

1. セル E2, F2, G2 にそれぞれ「=IF(B2=1,1,0)」「=IF(B2=2,1,0)」「=IF(B2=3,1,0)」と入力します。
2. セル E2からG22までドラッグし、下方向へコピーします。
   

1. 入力Y範囲：C1からC22
2. 入力X範囲：D1からD22
3. 「ラベル」にチェック

1. 入力Y範囲：C1からC22
2. 入力X範囲：D1からG22
3. 「ラベル」にチェック

• 作付面積を横軸に、収穫量を縦軸にとる散布図を作成して下さい。
  

1. 入力Y範囲：B1からB17
2. 入力X範囲：C1からC17
3. 「ラベル」にチェック

1. 入力Y範囲：B1からB17
2. 入力X範囲：C1からD17
3. 「ラベル」にチェック

ある同一の部品を製作している3つの班があります。各班の製作効率に差があるかどうかを検証するために、各班が1個の部品を製作するための時間を複数回測定した結果が

に保存されています。

> time <- read.csv("anova.csv")

> time

時間 班

1 8.82 1

2 9.26 1

3 8.70 1

4 8.97 1

5 8.64 1

6 8.29 1

7 9.45 1

8 9.42 1

9 9.25 1

10 8.21 2

11 6.65 2

「時間」の列は製作するためにかかった時間を、「班」の列はどの班が作ったかを表しています。

それでは、分散分析を行います。分散分析にはoneway.testという関数を利用します。

> oneway.test(time$時間 ~ time$班,var.equal=T)

One-way analysis of means

data: time$時間 and time$班

F = 8.0335, num df = 2, denom df = 23, p-value = 0.002260

p-valueが0.00226<0.05なので、5％の有意水準で帰無仮説を棄却します。つまり、1つの部品を製作する平均時間は3班で差があるということになります。

Wilcoxonの順位和検定

以下のようなアンケートを実施しました。

問1 あなたの国籍は何ですか （日本 ・ アメリカ）

問2 あなたは親に反抗しますか？

1. よくする 2.時々する 3.あまりしない 4.ほとんどしない

このアンケートの結果が

に保存されています。

> question1 <- read.csv("wilcoxon1.csv")

> question1

国籍 回答

1 日本 1

2 日本 4

3 日本 2

4 日本 4

5 日本 1

6 日本 4

7 日本 2

8 日本 4

9 日本 3

10 日本 4

11 アメリカ 3

12 アメリカ 1

この結果から、日米で反抗的態度に差があるかどうかをWilcoxonの順位和検定を使って検証しましょう。まず、subsetを使って、日本人とアメリカ人の回答を別々に抽出します。

> q1jp <- subset(question1,国籍 == "日本")

> q1us <- subset(question1,国籍 == "アメリカ")

準備が出来たので、検定を行います。wilcox.testという関数を利用します。

> wilcox.test(x=q1jp$回答,y=q1us$回答,alternative="two.sided")

Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data: q1jp$回答 and q1us$回答

W = 78.5, p-value = 0.02698

alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

Warning message:

Cannot compute exact p-value with ties in: wilcox.test.default(x = q1jp$回答, y = q1us$回答, alternative = "two.sided")

基本的にオプションの設定の仕方はt.testと同じです。たとえば、片側検定を行いたい場合は、alternative="two.sided"の代わりに、alternative="greater"または、alternative="less"を使います。

p-valueを見ると、0.026<0.05なので、5％の有意水準で帰無仮説が棄却されます。つまり、日米で反抗的態度（の中央値）に差があるということが分かります。

符号検定

ある病院の入院患者を対象に以下のようなアンケートを入院直後と退院直前の2回実施しました。

看護師はあなたの相談を良く聞いてくれましたか？

1. 非常に良く聞いてくれた 2. 良く聞いてくれた 3. 普通

4. あまり聞いてくれなかった 5. ほとんど聞いてくれなかった

このアンケートの結果が

に保存されています。

> q2 <- read.csv("signed.csv")

> q2

回答者番号 入院直後 退院直前

1 1 2 2

2 2 3 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 2 2

6 6 1 1

7 7 2 2

8 8 3 2

9 9 4 3

10 10 3 3

符号検定は以下のコマンドを入力することで実行できます。

> x <- q2$入院直後

> y <- q2$退院直前

> binom.test(c(length(x[x>y]),length(x[x<y])),alternative="greater")

Exact binomial test

data: c(length(x[x > y]), length(x[x < y]))

number of successes = 5, number of trials = 7, p-value = 0.2266

alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5

95 percent confidence interval:

0.3412614 1.0000000

sample estimates:

probability of success

0.7142857

p-valueは0.22(>0.05)より、5%の有意水準で帰無仮説を棄却しません。つまり、入院直後と退院直前で看護に対する印象に差がないと判断されます。「alternative="greater"」は「xがyより大きい」（この場合は入院直後の方が退院直前より大きい）という対立仮説で検定することを意味します。もし、「xよりyが大きい」という対立仮説で検定したい場合、「alternative="less"」とします。

Kruskal-Wallis検定

以下のようなアンケートを実施しました。

問1 あなたの国籍は何ですか （日本 ・ 中国 ・ アメリカ）

問2 あなたは親に反抗しますか？

1. よくする 2.時々する 3.あまりしない 4.ほとんどしない

このアンケートの結果が

に保存されています。

> question3 <- read.csv("wilcoxon3.csv")

検定を行うにはkruskal.testという関数を利用します。

> kruskal.test(question3$回答,question3$国籍)

Kruskal-Wallis rank sum test

data: question3$回答 and question3$国籍

Kruskal-Wallis chi-squared = 9.8041, df = 2, p-value = 0.007431

この結果から、5％の有意水準で帰無仮説を棄却します。つまり、各国で親に対する反抗的態度に差が見られると判断されます。

bigclass.csvを例にとり、男女間で身長の平均に差があるかどうかを検定しましょう。まず、データを読み込みます。

> class <- read.csv("bigclass.csv")

男子と女子のデータをclassから抽出し、それぞれclass_male, class_femaleに代入します。

> class_male <- subset(class,性別=="M")

> class_female <- subset(class,性別=="F")

class_maleの内容を表示してみます。

> class_male

名前 年齢 性別 身長 体重

6 TIM 12 M 60 84

7 JAMES 12 M 61 128

8 ROBERT 12 M 51 79

12 JOHN 13 M 65 98

13 JOE 13 M 63 105

14 MICHAEL 13 M 58 95

準備が出来たので、男女間の身長の差の検定を行いましょう。平均の差の検定にはt.testという関数を利用します。母集団の分散が等しいと仮定しているので、var.equal=Tをオプションとして追加します。また、ここでは両側検定を行いましょう。両側検定を行うにはalternative="two.sided"というオプションを追加します。

> t.test(x=class_male$身長,y=class_female$身長,var.equal=T, alternative="two.sided")

Two Sample t-test

data: class_male$身長 and class_female$身長

t = 2.3687, df = 38, p-value = 0.02304

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.4390238 5.6013802

sample estimates:

mean of x mean of y

63.90909 60.88889

p-valueに注目しましょう。0.02304なので、有意水準を5%とすると0.023<0.05より、帰無仮説を棄却し、対立仮説が正しいと判断します。つまり、「男女の母集団の平均身長には差がある」と判断されます。

次に、対立仮説を「男子の平均身長が女子よりも高い」とする片側検定を行いましょう。

今回はalternative="greater"というオプションを追加します。

> t.test(x=class_male$身長,y=class_female$身長,var.equal=T, alternative="greater")

Two Sample t-test

data: class_male$身長 and class_female$身長

t = 2.3687, df = 38, p-value = 0.01152

alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0

95 percent confidence interval:

0.8705471 Inf

sample estimates:

mean of x mean of y

63.90909 60.88889

p-valueが0.0152なので、5％の有意水準で帰無仮説が棄却され、対立仮説が正しいと判断されます。つまり、「男子の平均身長が女子よりも高い」ということになります。

母集団の分散が等しいと仮定できない場合

は生の落花生と、炒った落花生をそれぞれ10匹のネズミに与えたときのタンパク質の摂取量です。生の落花生といった落花生でタンパク質の平均摂取量が異なるかどうか検定します。

> peanuts <- read.csv("peanuts.csv")

> peanuts

生 炒り

1 61 55

2 60 54

3 56 47

4 63 59

5 56 51

6 63 61

7 59 57

8 56 54

9 44 62

10 61 58

仮説検定にはt.testを利用しますが、今回はvar.equal=Fというオプションを追加します。

> t.test(x=peanuts$生,y=peanuts$炒り,var.equal=F, alternative="two.sided")

Welch Two Sample t-test

data: peanuts$生 and peanuts$炒り

t = 0.9185, df = 17.347, p-value = 0.371

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

-2.716617 6.916617

sample estimates:

mean of x mean of y

57.9 55.8

p-valueが0.371なので、有意水準を5%とすると、0.371>0.05より、帰無仮説を棄却できません。つまり、生の落花生と、炒った落花生でも、ネズミが摂取するタンパク質の平均に差はないと判断されます。帰無仮説を「生の落花生の方がタンパク質摂取量の平均値が大きい」とする片側検定は次のようになります。

> t.test(x=peanuts$生,y=peanuts$炒り,var.equal=F, alternative="greater")

Welch Two Sample t-test

data: peanuts$生 and peanuts$炒り

t = 0.9185, df = 17.347, p-value = 0.1855

alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0

95 percent confidence interval:

-1.872925 Inf

sample estimates:

mean of x mean of y

57.9 55.8

この結果から、有意水準を5％とするならば、片側検定と同じ結果になることが分かります。

2つの標本に対応がある場合

10人の被験者の体温を電子式体温計と水銀式体温計で測った結果が

に保存されています。

> temp <- read.csv("temperature.csv")

> temp

電子式 水銀式

1 37.21 37.02

2 37.12 36.88

3 37.04 37.19

4 37.45 37.27

5 36.93 36.83

6 36.96 36.96

7 37.23 36.92

8 37.15 37.23

9 37.22 37.02

10 37.05 36.78

これは対応のあるデータなので、t.testにpaired=Tというオプションを付加します。

> t.test(x=temp$電子式,y=temp$水銀式, paired=T,alternative="two.sided")

Paired t-test

data: temp$電子式 and temp$水銀式

t = 2.5765, df = 9, p-value = 0.02987

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.01537252 0.23662748

sample estimates:

mean of the differences

0.126

p-valueから、5％の有意水準で帰無仮説「2つの種類の体温計で測った体温の平均値に差がない」が棄却され、「平均値に差がある」と判断されます。

片側検定も同様に行えます。

> t.test(x=temp$電子式,y=temp$水銀式, paired=T,alternative="greater")

Paired t-test

data: temp$電子式 and temp$水銀式

t = 2.5765, df = 9, p-value = 0.01493

alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0

95 percent confidence interval:

0.0363543 Inf

sample estimates:

mean of the differences

0.126

練習問題

1. ある地域には2つのレストランがある。ある1年間の営業日の中から無作為に12日を選び、両レストランの売り上げを記録したデータが

である。このデータから両レストランの平均売上に差があるといえるか検定しなさい。

2. 東京電力と東芝の1959年1月から2001年12月までの月間株価収益率が、

に保存されている。このデータをつかって、2つの銘柄の収益率の平均に差があるかどうかを有意水準5％で検定しなさい。

まず、データをRに読み込みます。

> car <- read.csv("carsurvey.csv")

データの中身を確認してみましょう。

> car

性別 既未婚 年齢 生産国 サイズ タイプ

1 男性 既婚 34 米国 大型 ファミリー

2 男性 未婚 36 日本 小型 スポーツ

3 男性 既婚 23 日本 小型 ファミリー

4 男性 未婚 29 米国 大型 ファミリー

このデータから、既婚者・未婚者で車の好みが異なるかどうかを検証してみましょう。つまり、「既未婚」の列と、「タイプ」の列を使ってクロス集計表とモザイク図を作成します。

クロス集計表を作成するにはtableという関数を利用します。

> marital_cartype <- table(car$既未婚,car$タイプ)

代入した変数の中身を確認すると、クロス集計表が表示されます。

> marital_cartype

スポーツ ファミリー ワーク

既婚 45 119 32

未婚 55 36 16

モザイク図の作成

次にこのクロス集計表からモザイク図を作成します。Mosaicplotという関数を利用します。

> mosaicplot(marital_cartype,main="既未婚と車の種類")

独立性の仮説検定

結婚の有無と車の選好が独立（無関係）かどうかを仮説検定しましょう。帰無仮説と対立仮説はそれぞれ、

帰無仮説：結婚の有無と車の選好が独立。

帰無仮説：結婚の有無と車の選好が独立ではない。

です。

> chisq.test(marital_cartype)

Pearson's Chi-squared test

data: marital_cartype

X-squared = 26.9629, df = 2, p-value = 1.397e-06

ここで注意しなければならないところは「p-value」です。この値が有意水準よりも小さければ帰無仮説が棄却されます。もし有意水準を一般的な5%にすると1.397e-06<0.05より、帰無仮説が棄却されます(1.397e-06はを意味します)。つまり結婚の有無と車の選好は独立ではないと考えられます。

「X-squared」と「df」はそれぞれ検定統計値と自由度を表します。これらも仮説検定では重要な情報ですが、今回はこれには触れません。

練習問題

「生産国」と「サイズ」、「既未婚」と「サイズ」についてもそれぞれ独立性の検定を行って下さい。

1. 前期（1990年～96年まで）
   

1. 入力Y範囲：B1からB8
2. 入力X範囲：C1からC8
3. 一覧の出力先：A18
4. 「ラベル」にチェック

1. 入力Y範囲：B9からB16
2. 入力X範囲：C9からC16
3. 一覧の出力先：A37
4. 「ラベル」にチェックしない

1. 入力Y範囲：B1からB16
2. 入力X範囲：C1からC16
3. 一覧の出力先：A56
4. 「ラベル」にチェック

1. 入力Y範囲：B1からB11
2. 入力X範囲：C1からD11
3. 「ラベル」にチェック

1. 入力Y範囲：C1からC16
2. 入力X範囲：B1からB16
3. 「ラベル」にチェック

• 残差の標準誤差は、「回帰統計」中の「標準誤差」に表示されています。
• 回帰係数の標準誤差は「切片」および「GDP]と、「標準誤差」が交差するセルに表示されています。
• ｔ値は「切片」および「GDP]と、「ｔ」が交差するセルに表示されています。

1. 分析ツールの「回帰分析」のメニューで以下の設定をした回帰分析を行って下さい。
1. 入力Y範囲：B1からB18
2. 入力X範囲：C1からD18
3. 「ラベル」にチェック
2. さらに、以下の設定をした回帰分析を行って下さい。
1. 入力Y範囲：B1からB18
2. 入力X範囲：C1からE18
3. 「ラベル」にチェック

1. 年齢を横軸に、給与額を縦軸にとる散布図を描いてください。
2. 給与額を被説明変数、給与額とその2乗値を説明変数にする回帰分析を行います。
1. セルC2に「=B2^2」と入力し、C13まで下方向にコピーします。
2. 分析ツールの「回帰分析」を利用し、
1. 入力Y範囲：A1からA13
2. 入力X範囲：B1からC13
3. 「ラベル」にチェック

1. 入力Y範囲：B1からB11
2. 入力X範囲：C1からD11
3. 「ラベル」にチェック

各都道府県のデータを使って、各変数間の散布図の描画と相関係数の計算を行いましょう。まず、データを読み込みます。

> pref <- read.csv("prefectures.csv")

prefと入力すると、prefに代入されたデータが表示されます。

県コ..ド 県名 面積 人口 持家比率 地方交付税 地方税収 商店数 電力消費量 自動車保有

1 1 北海道 83408 5666 54 694 543 63 8623 2065

2 2 青森 9606 1507 72 234 113 22 2128 459

3 3 岩手 15274 1429 73 239 118 21 2088 464

4 4 宮城 7284 2287 61 159 234 30 3468 812

5 5 秋田 11613 1227 80 216 101 20 1733 404

以下では各県の「面積」～「自動車保有」の列だけを利用して分析を進めていくので、必要な列だけを取り出します。

> pref2 <- pref[3:10]

上の命令は変数prefの3列目から10列目をとりだし、変数pref2に代入せよという意味です。

> pref2

面積 人口 持家比率 地方交付税 地方税収 商店数 電力消費量 自動車保有

1 83408 5666 54 694 543 63 8623 2065

2 9606 1507 72 234 113 22 2128 459

3 15274 1429 73 239 118 21 2088 464

4 7284 2287 61 159 234 30 3468 812

5 11613 1227 80 216 101 20 1733 404

各変数間の散布図を作成します。pairsという関数を利用します。

> pairs(pref[3:10],gap=0) #gap=0 は各散布図間の空白を0にする

各変数間の相関係数を計算します。相関係数を計算する関数はcorです。

> cor(pref2)

面積 人口 持家比率 地方交付税 地方税収 商店数 電力消費量 自動車保有

面積 1.00000000 0.1121399 -0.10981581 0.86357637 0.01554832 0.09766679 0.04847636 0.1749191

人口 0.11213987 1.0000000 -0.80391731 -0.15413683 0.72394462 0.97563958 0.99193483 0.9689834

持家比率 -0.10981581 -0.8039173 1.00000000 0.05355635 -0.50281434 -0.81125287 -0.80544938 -0.7503827

地方交付税 0.86357637 -0.1541368 0.05355635 1.00000000 -0.18031202 -0.15466839 -0.22705848 -0.1073727

地方税収 0.01554832 0.7239446 -0.50281434 -0.18031202 1.00000000 0.76653324 0.75725724 0.6397272

商店数 0.09766679 0.9756396 -0.81125287 -0.15466839 0.76653324 1.00000000 0.98409466 0.9264742

電力消費量 0.04847636 0.9919348 -0.80544938 -0.22705848 0.75725724 0.98409466 1.00000000 0.9407229

自動車保有 0.17491910 0.9689834 -0.75038274 -0.10737274 0.63972724 0.92647417 0.94072291 1.0000000