2008年1月アーカイブ

付加価値額 y、労働投入量 x₁、資本設備額 x₂のデータがこのファイルに保存されています。このデータを使って、

を推定し、仮説検定

を行います。

検定の方針は、貯蓄関数の季節性の検定や設備投資の伸び率と、稼動水準の関係の検定で行ったときと同じです。つまり、帰無仮説の制約付での回帰分析と、制約が無い場合の回帰分析を行い、それぞれの残差2乗和から検定統計値を計算します。

今回の場合、帰無仮説の制約をおく回帰分析を考えると、

となり、最終的に

と変形できます。これより、被説明変数が

説明変数が

の単回帰分析を行い、残差2乗和を求めることになります。

では、次の手順で検定を行いましょう。

1. D～F列に、A～C列の対数値を計算します。対数を計算する関数は「ln」でした。
2. G列に帰無仮説のもとでの被説明変数を作ります。つまり、（D列－F列）を計算します。
3. H列に帰無仮説のもとでの説明変数を作ります。つまり、（E列－F列）を計算します。
4. 帰無仮説のもとでの回帰分析を行います。つまり、G列を被説明変数に、H列を説明変数にします。残差を出力させることを忘れないでください。
5. 制約がない場合の回帰分析を行います。この場合、D列が被説明変数、E～F列が説明変数になります。
6. 残差の2乗を計算し、2つの残差2乗和を計算します。
7. 検定統計値を計算します。この問題では p=1, n=27, k=2 となります。
8. 棄却域を求めます。

計算結果は以下のようになるはずです。

帰無仮説のもとでの残差2乗和：0.855741161

制約なしでの残差2乗和：0.851633655

検定統計値：0.115754162

有意水準を5%としたときの棄却域：（4.259675279, ∞)

「すべての回帰係数が0である」かどうかを検定する方法を実習します。もしこの仮説が正しければ、すべての説明変数が被説明変数に影響を与えていないことになるので、回帰分析自体が意味をなさないことになります。

重回帰モデルの回帰係数の信頼区間で利用したデータappendix4-2.xlsを使って、この検定を行ってみます。この場合、推定する回帰式は

log(輸入額)=β₀ + β₁×log(GDE) + β₂×log(交易条件)

で、帰無仮説と対立仮説はそれぞれ

H0: β₁ = β₂ = 0
H1: H0ではない

となります。よって、制約ありの回帰式

log(輸入額)=β₀

と制約なしの回帰式

log(輸入額)=β₀ + β₁×log(GDE) + β₂×log(交易条件)

を推定することになります。

まず、制約なしの回帰分析をします。データを保存して、以下のように分析ツールを実行して下さい。

次のような結果が得られます。

この結果から制約なしの残差2乗和RSS(H1)を求めます。実は、RSS(H1)は「分散分析表」の「残差」と「変動」が交差するC39に計算されています。この場合RSS(H1)=0.181657です。

次に、制約ありの回帰分析を行い残差2乗和RSS(H0)を計算しなければなりません。実はこの結果も「分散分析表」の中に記載されています。「合計」と「変動」が交差するC40の値です。この場合RSS(H0)=2.129091です。

検定統計値

を計算するわけですが、これも「観測された分散比」というところに計算されています。ここでは112.56です。

この検定統計値が自由度(p,n-k-1)=(2,24-2-1)のF分布の上側5%点より大きければ、有意水準5%で帰無仮説を棄却することになるわけです。

棄却域は3.47より大きい部分です。検定統計値が棄却域にはいるので、帰無仮説は棄却されます。よって、この回帰分析は意味がある分析であるということが言えます。

設備投資の伸び率 y と、稼働率の伸び率のデータ x 、2期前の稼動水準が90％以上だったら1、それ以外なら0の値をとるダミー変数 d が、このファイルに与えられています。このデータを使って､

を推定しましょう。そして、

を検定しましょう。

検定の手順は、貯蓄関数の季節性の検定とほぼ同じです。つまり、

1. のデータをF列に作成する。
2. 帰無仮説のもとで､つまりダミー変数を除いた単回帰分析を行う。残差の計算を忘れずに。
3. 対立仮説のもとで、つまりダミー変数を含んだ重回帰分析を行う。残差も必ず計算する。
4. 検定統計値を計算する。検定統計量の式は、貯蓄関数の季節性の検定と同じです。ただし、今回はn= 68, p=2, k=3であることに注意してください。
5. 関数「FINV」を使って､棄却域を求めます。
6. 棄却域に検定統計値が入るかどうかで帰無仮説が棄却されるかどうかを判断してください。

季節ダミーを用いた貯蓄関数の推定では、季節ダミーを追加した貯蓄関数

（家計貯蓄）＝β₀＋β₁×（可処分所得）＋β₂×q₁＋β₃×q₂＋β₄×q₃

ここで、季節ダミー

の推定を行いました。今回はこの季節ダミーについての仮説検定

を行います。つまり、貯蓄関数に季節性があるかどうかを検定するわけです。

仮説検定を行うには、帰無仮説のもとでの制約付きの回帰分析による残差平方和と、対立仮説のもとでの回帰分析による残差平方和が必要になります。

今回の場合、帰無仮説の制約のもとでは、季節ダミーなしの貯蓄関数の推定と同じになります。また、対立仮説のもとでの回帰分析は、季節ダミーありの貯蓄関数の推定と同じです。

では実際に検定を行いましょう。まず、データex3-5.xlsを保存し、季節ダミーを用いた貯蓄関数の推定と同じ方法で、季節ダミーなしの回帰分析と季節ダミーありの回帰分析を行ってください。今回はグラフを作成する必要はありません。

まず、帰無仮説の制約の下での回帰分析を行います。以下のような設定になります。

次に制約なしでの回帰分析を行います。以下のような設定になります。

回帰分析をそれぞれ2回行うと、セルC91～C154までに、帰無仮説のもとでの回帰分析による残差が、セルM941～M157までに、対立仮説のもとでの回帰分析による残差が表示されているはずです。これからそれぞれの残差平方和RSS(H0)と、RSS（H1)を計算します。

セルD91～D154に残差の2乗を計算します。次の式を入力し、下方向へコピーします。

セルD155に次の式を代入し、残差2乗和RSS(H0)を計算します。

同様に、対立仮説のもとでの回帰分析による残差の2乗和も計算します。次の式を入力し、下方向へコピーします。

残差2乗和RSS（H1)を計算します。

次に検定統計値を計算しましょう。検定統計量は

でした。ここでpは、帰無仮説における制約式の数、kは説明変数の数でした。よって、ここではp=3, n=64, k=4となります。よって、検定統計値をセルB158に計算すると、

となります。この値が棄却域に入るかどうかを調べましょう。この場合、検定統計量は自由度が(3,59)のF分布にしたがいます。ここではExcelを使って臨界値を計算してみましょう。ExcelにはF分布の分位点を計算する関数「FINV」が用意されています。FINVは

「=FINV(上側確率, 自由度1, 自由度2)」

のように使います。自由度（3, 59)のF分布の上側5％点をセルB159に求めてみましょう。

求められた2.76という値は検定統計値より明らかに小さい値です。したがって、検定統計値は棄却域に入り、帰無仮説が5％の有意水準で棄却されることがわかります。つまり、季節ダミーは0ではないということです。

輸入額、GDE、輸出デフレータ、輸入デフレータのデータがappendix4.xlsに保存されています。このデータから、

log(輸入額)= β₀ + β₁×log（GDE）+β₂log（交易条件）

の回帰分析を行うことによって、輸出額をGDEと交易条件（＝輸出デフレータ／輸入デフレータ）で説明してみましょう。

まず、F列に交易条件を計算します。以下の式を入力し、下方向へコピーします。

次に、輸入額の対数値をG列に計算します。交易条件同様に下方向へコピーします。

同様に、GDEの対数値、交易条件の対数値をH列とI列に計算します。

これで分析に必要なデータが準備できました。「ツール」－「分析ツール」の「回帰分析」を選択し、以下のように設定します。

計算結果を見てください。

自由度修正済み決定係数は0.9程度の値であり、回帰式の当てはまりが比較的よいことがわかります。

log(GDE)の係数β₁が1.119と推定されています。実はこの値が輸入のGDE弾力性を表しています。90％の信頼区間も[0.97, 1.27] と、1より大きい値をとっているように見えます。

次にβ₂についての仮説検定

を5％の有意水準で行ってみてください。
β₂に関する標準誤差は0.120523なので、検定統計値は

となります。この統計量が自由度n-(k+1)=24-(2+1)=21のt分布の上側2.5%点より大きいならば（あるいは下側2.5%点より小さいならば)、帰無仮説を棄却することになります。数表を利用すると上側2.5%点は2.080（この数値はExcelの関数を使って「=TINV (0.05,21)」としても求めることができます）なので、帰無仮説が棄却されません。つまり、 β₂=0 と判断されます。
同じように、

を5％の有意水準で検定してください。このときの検定統計値は

となります。

テキスト例題4.1のデータex4-1.xlsを、分析ツールを使って回帰分析を行ってみます。以下のように設定して分析を行ってください。

次の結果の部分に注目しましょう。

「下限95％」「上限95％」という欄は信頼係数95％の信頼区間を示しています。

「標準誤差」はそれぞれ

、を意味しています。係数と標準誤差が与えられているので、簡単に検定統計値を計算することが出来ます。

「t」という欄は係数を標準誤差で割ったものです。この値を通常「ｔ値」と呼びます。これは帰無仮説「係数は0」に対する検定統計値になっています。

「P-値」はｔ値が自由度n-2のｔ分布において、

（P-値）＝（ｔ値より右側の面積）＋（-（ｔ値)より左側の面積）

によって計算されます。図示すると次のようになります。ですから、5％の有意水準で「係数＝０」の帰無仮説が棄却されるということは、P値が0．05よりも小さいことと同値であることがわかります。